这篇很多地方写的不够清楚，两年后做了更新，看这里

本文介绍概念：
条件概率
条件期望
条件方差

条件概率

给定一个样本空间S，一个完全事件集合\(\varepsilon=\{A \mid A \subset S\}\),一个概率测度 $Pr:\varepsilon \to [0,1]$，
给定事件$B\in \varepsilon,Pr(B)>0$,
那么，对于$A \in \varepsilon$，定义 条件概率 为$Pr(A \mid B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

这种定义的好处是，$Pr(\star \mid B)$符合概率测度的定义

条件PDF

p.d.f是$f(x,y)$
定义：$f(x\mid y)=\dfrac{f(x,y)}{f(y)}$

定理： $f(y)=\sum\limits_{y} f(x\mid y)f(y)$

条件期望

联合期望 定义为：
$E[g(x_1,x_2)]=\sum\limits_{(x_1,x_2)}g(x_1,x_2)f(x_1,x_2)$

条件期望 定义为：
$E[g(X_1) \mid X_2=x_2]=\sum\limits_{x_1} g(x_1) f(x_1 \mid x_2)$
记为$E(g(X_1)\mid X_2)$

注意:
条件期望可以视为这样一个函数：$s \in S ,s \to E(g(X_1)\mid X_2(s))$
$E(g(X_1)\mid X_2)$本身是一个随机变量。

定理：全期望定理(law of total expactation)
$E_{X_2}[E_{X_1\mid X_2}[g(X_1) \mid X_2]]=\sum\limits_{x_1}g(x_1)f(x_1)$
也就是说，
$E[X]=E[E[X \mid Y]]$

条件方差

方差 定义为：
$E[(X-EX)^2]$

定理：$Var(X)=EX^2-(EX)^2$

条件方差 定义为：
$Var[X \mid Y]=\sum\limits_i (x_i - E[X \mid Y])^2 f(x_i \mid Y)$
定理：$Var[X]=E[Var[X \mid Y]]+Var[E[X\mid Y]]$

总结

$f(x\mid y)=f(x,y)/f_Y(y)$
$Var X =EX^2-(EX)^2$
$E(X\mid Y)=\sum\limits_x f(x \mid y)$
$Var(X\mid Y)=\sum\limits_x(x-u_{x\mid y})^2f(x\mid y)$
$EX=E(E(x\mid y))$
$VarX=E(Var(X\mid Y))+Var(E(X\mid Y))$