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【丢弃】正态分布的性质

2018年09月03日    Author:Guofei

文章归类:    文章编号: 9530


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原文链接:https://www.guofei.site/2018/09/03/gaussian.html

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定义

f(x1,x2,xp)=1(2π)p/2Σ1/2exp[12(xu)Σ1(xu)] where,

  • u是p阶向量
  • Σ是p阶正定矩阵

叫做X服从p元正态分布, 记为XNp(u,Σ)

性质

如果X=(X1,X2,Xp)Np(u,Σ)

性质1:均值和方差

EX=u
Var(X)=Σ

Σ∣=0,不存在密度函数。 当然可以给出一些形式上的表达式,使得可以统一处理。

性质2:独立性

如果Σ是对角阵,那么X1,X2,,Xp相互独立

性质3:分块矩阵

做如下拆分:
X=[X(1q)X(q+1p)],u=[u(1q)u(q+1p)],Σ=[Σ11Σ12Σ21Σ22],
那么: X(1q)Nq(u1q,Σ11),X(q+1p)Nq(uq+1p,Σ22)

需要指出:

  • 多元正态分布的任何边缘分布都是正态分布,反之不真。
  • Σ12=0表示独立,所以多元正态分布拆分后不相关则独立
  • 两个正态分布不相关,不一定独立。只有是多元正态分布时,不相关才推出独立。

性质4:线性组合

如果As×p,ds×1都是常数矩阵,
那么AX+dNs(Au+d,AΣA)

乘法

参见Products and Convolutions of Gaussian Probability Density Functions

正态分布乘法的定义

注意区别于随机变量的乘法
正态分布的乘法定义为概率密度函数相乘,然后乘以归一化系数使积分仍然是1.

已知N(ui,Σi),i=1,n,对应的的概率密度函数是fi(x)=1(2π)p/2Σi1/2exp[12(xui)Σ1i(xui)]

  1. ni=1N(ui,Σi)仍然是一个正态分布
  2. 新正态分布的方差满足1Σ=1Σi
  3. 新正态分布的均值满足uΣ=uiΣi

参考文献

Products and Convolutions of Gaussian Probability Density Functions


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